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Ausrichtung des Graduiertenkollegs



Struktur:

Das Graduiertenkolleg setzt sich aus den folgenden 7 Arbeitsgruppen zusammen:

  1. Nichtlineare Analysis (Kielhöfer)
  2. Dynamik und Kontrolle gewöhnlicher Differentialgleichungen (Aulbach / Colonius)
  3. Numerische Lösung gekoppelter Systeme partieller Differentialgleichungen (Hoppe / Siebert)
  4. Nichtlineare Physik komplexer Systeme (Hänggi / Talkner)
  5. Globale Differentialgeometrie (Heintze / Eschenburg)
  6. Stark korrelierte Vielteilchensysteme (Eckern / Ziegler)
  7. Geometrische Analysis (Lohkamp)

Diese 7 Arbeitsgruppen werden von vier Begriffen bzw. Themenbereichen geprägt und umspannt, die sich - alle unter dem Aspekt der Nichtlinearität - mit den Stichworten Dynamik, Mannigfaltigkeiten, Symmetrie und Numerik umschreiben lassen. Zu diesen Themen im einzelnen:

Dynamik:

Differentialgleichungen, bei denen eine Variable als Zeit interpretiert wird, spielen in sämtlichen Arbeitsgruppen eine große, in einigen sogar die zentrale Rolle. Während in der Arbeitsgruppe 1 gewöhnliche, partielle und Funktional-Differentialgleichungen im Hinblick auf Verzweigung, Linearisierung, Entkopplung und Reduktion aus analytischer Sicht heraus behandelt werden, stehen in der Arbeitsgruppe 2 die kontroll- und störungstheoretischen Aspekte bei Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen im Vordergrund, und zwar aus analytischer, stochastischer wie numerischer Sicht. Zentrales Thema der Arbeitsgruppe 3 ist die numerische Lösung gekoppelter Systeme von partiellen Differentialgleichungen, mit starkem Anwendungsbezug zur Simulation komplexer technologischer Prozesse. In der Arbeitsgruppe 4 werden physikalische Anwendungen behandelt wie nichtlineare Oszillatoren, die Dynamik granulärer Medien sowie die stochastische Dynamik in multistabilen Systemen. In der Arbeitsgruppe 5 treten dynamische Systeme in Form von Hamiltonschen Systemen, insbesondere geodätischen Flüssen, und von geometrischen partiellen Differentialgleichungen (Einsteingleichung, Minimalflächen-Gleichung u.a.) auf und in der Arbeitsgruppe 6 in Form von integrablen Systemen.

Mannigfaltigkeiten:

Die theoretische Verankerung des Begriffs der Mannigfaltigkeit findet in der differentialgeometrischen Arbeitsgruppe 5 statt, in der sowohl spezielle Mannigfaltigkeiten als auch - meist durch Krümmungseigenschaften definierte - Klassen von Mannigfaltigkeiten untersucht werden. Bei den in der Arbeitsgruppe 6 behandelten physikalischen Anwendungen treten solche speziellen Mannigfaltigkeiten (Stiefel- und Grassmann-Mannigfaltigkeiten) auf. Mannigfaltigkeiten, die bezüglich dynamischer Aspekte invariant sind, besitzen große Bedeutung in den Arbeitsgruppen 1 und 2, auch in Form von Integralmannigfaltigkeiten und invarianten Faserbündeln. In der physikalischen Arbeitsgruppe 4 schließlich sind Energieflächen und Potentialgebirge nützliche differentialgeometrische Hilfsmittel.

Symmetrie:

Der Symmetriebegriff spielt eine zentrale Rolle in der Arbeitsgruppe 5 in zahlreichen Fragestellungen im Zusammenhang mit Symmetrischen Räumen und Liegruppen sowie beim Studium geometrischer Differentialgleichungen wie der Einsteingleichung. In der Arbeitsgruppe 6 sind die Symmetrie-Eigenschaften von Lösungen der Yang-Baxter-Gleichung von großer Bedeutung. Bei den in der Arbeitsgruppe 1 untersuchten Verzweigungsproblemen sind die spontane bzw. erzwungene Symmetriebrechung im Zusammenhang mit äquivarianten Vektorfeldern von fundamentalem Interesse. Auch in der Arbeitsgruppe 4 spielt die Bifurkationstheorie wie auch der Symmetriebegriff für die Dynamik dissipativer Systeme sowie die Form von periodischen Störungen (Floquettheorie) bei nichtlinearen Medien eine wichtige Rolle. In der Arbeitsgruppe 3 schließlich dienen partielle Differentialgleichungen mit symmetrischen Randbedingungen als wohluntersuchte Spezialfälle im Hinblick auf die Entwicklung von Methoden und Algorithmen für allgemeine nichtsymmetrische Probleme.

Numerik:

Die Arbeitsgruppe 3 bildet das theoretische wie praxisorientierte Zentrum für die Entwicklung und den Einsatz numerischer Methoden. Neben dem eigentlichen Arbeitsgebiet der Gruppe, der Entwicklung und Implementierung effizienter iterativer Lösungsverfahren für partielle Differentialgleichungen und der Simulation komplexer technologischer Prozesse, spielt die numerische Expertise dieser Gruppe für die in jeder der anderen Arbeitsgruppen benötigte Numerik eine große Rolle. Diese Anwendungen gehen von der Visualisierung analytischer Resultate in der Arbeitsgruppe 1 über die approximative Bestimmung von Erreichbarkeitsmengen und Lyapunov-Exponenten in der Arbeitsgruppe 2, numerisch berechnete (da analytisch nicht erzielbare) Ergebnisse der physikalischen Arbeitsgruppe 4 bis hin zu numerisch ermittelten Lösungen geometrischer Differentialgleichungen und graphischer Darstellungen in der Arbeitsgruppe 5 und numerischen Simulationen von Fermionen in der Arbeitsgruppe 6.

Die sich in diesen 4 Themenbereichen manifestierende Verzahnung der 7 Arbeitsgruppen bildet die Grundlage für einen intensiven Informationsaustausch auf den verschiedenen Ebenen des Graduiertenkollegs. Neben Vorlesungen und Arbeitsgemeinschaften, in denen die einzelnen Themenbereiche grundlagentheoretisch oder auch anwendungsorientiert dargestellt bzw. erarbeitet werden, soll die Beschäftigung mit diesen Themen über die betreute Forschungsarbeit durch die Graduierten bis in die höheren Niveaus der aktuellen Forschung reichen. Die Kooperation und Interaktion zwischen den einzelnen Arbeitsgruppen wird dabei vor allem projektbezogen und von unterschiedlicher Dauer und Intensität sein, sie wird voraussichtlich aber auf allen Ebenen stattfinden.


Fachgebiete und Arbeitsrichtungen:

Geometrie:

Symmetrische Räume und isoparametrische Untermannigfaltigkeiten in Hilberträumen, Einsteinmetriken mit hoher Symmetrie, Pluriminimale Kähler-Untermannigfaltigkeiten, asymptotische Geometrie auf Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung, Dynamik geodätischer Flüsse auf Mannigfaltigkeiten positiver Krümmung.

Theoretische Festkörperphysik:

Wechselwirkende Elektronen in niedrigdimensionalen Systemen, Berücksichtigung starker Korrelationen mittels exakter (Bethe-Ansatz) und numerischer (Monte-Carlo) Methoden, Untersuchung der Grundzustandseigenschaften sowie der dynamischen Antwort, insbesondere in ein und zwei (Raum-) Dimensionen, Phasenkohärenz und Quantenfluktuationen in Netzwerken von Josephson-Kontakten und anderen mesoskopischen Systemen, Metall-Isolator- und Supraleiter-Isolator-Übergänge.

Analysis/Numerische Mathematik:

Verzweigungstheorie mit Symmetrien, lokale und globale qualitative Theorie mit Anwendungen auf gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen sowie Funktionaldifferentialgleichungen (unendlich dimensionale dynamische Systeme), invariante Mannigfaltigkeiten nichtautonomer Differential- und Differenzengleichungen, qualitative Analyse irreversibler dynamischer Systeme, Kontrolle und zeitabhängige Störungen gewöhnlicher Differentialgleichungen, numerische Analysis, numerische Lösung partieller Differentialgleichungen, numerische Simulation komplexer technologischer Prozesse.

Statistische und Nichtlineare Physik:

Transportphänomene und nichtlineare Effekte aller Art in klassischen, wie auch in quantenmechanischen Systemen, Fragen der Nukleation in Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtssystemen, Einfluß von Rauschen auf Strukturbildung und Signalverarbeitung, Dynamik von granulären Medien unter Rotation und Vibration, Brownsche Motoren, Physik der Fallen und Speicher, gedämpfte Quantensysteme, Magnetotransport in Nanostrukturen, Quantenchaos und Lokalisierung, Kontrolle und Steuerung quantenmechanischer Prozesse mittels zeitabhängiger Störungen.

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